Exponentiële verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de exponentiële verdeling een continue verdeling. De exponentiële verdelingen worden vaak gebruikt voor het modelleren van de tijd tussen twee gebeurtenissen die met een constante gemiddelde snelheid voorkomen. De exponentiële verdeling is een specifiek geval van de gamma-verdeling.

De kansdichtheid $f$ van een exponentiële verdeling wordt gegeven door:

$f(x;lambda )=leftbeginmatrixlambda e^-lambda x&,;xgeq 0,0&,;x<0.endmatrixright.$

waar $lambda >0$ de parameter van de verdeling is, die vaak een snelheidsparameter of intensiteitsparameter is. De verdeling wordt gedragen door het interval [0,∞). De verdeling wordt vanwege de negatieve exponent, ook wel negatief-exponentiële verdeling genoemd. Het is het continue analoog van de geometrische verdeling.

De verdelingsfunctie wordt gegeven door

$F(x;lambda )=leftbeginmatrix1-e^-lambda x&,;xgeq 0,0&,;x<0.endmatrixright.$

De exponentiële verdeling heeft als merkwaardige eigenschap geheugenloosheid. Als $X$ een levensduur is die exponentieel verdeeld is, worden de overlevingskansen voor $x>0$ gegeven door:

$P(X>x)=e^-lambda x$.

We leiden nu eenvoudig af dat voor $x,y>0$ geldt:

$P(X>x+y|X>x)=frac P(X>x+y)P(X>x)=frac e^-lambda (x+y)e^-lambda x=e^-lambda y=P(X>y)$.

Daarin volgt de eerste stap uit de constatering dat de gebeurtenis $X>x+y$ een deel is van de gebeurtenis $X>x$; anders gezegd: als $X>x+y$, is vanzelf ook $X>x$.